学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2025 届新高三暑期效果联合测评答案 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A D C C D B CD ABD AC 填空题： 12. 1136 13 33 3+ 14. 5 解答题： 15.（本小题 13 分） 已知正项数列{ }na中，113a =，且()22*11320nnnnaaaan+++−=∈N. (1)求数列{ }na的通项公式； (2)()*1111nnnnnnnaabna aaa+++−=∈+++N，证明：1214nbbb++⋅⋅⋅+<. 【答案】(1)13nna =，*n∈N ； (2)证明见解析 【详解】（1）由()()2211113230nnnnnnnnaaaaaaaa+++++−=+−=，0na >， 得113nnaa+ =，又113a =， 则{ }na是以 13 为首项， 13 为公比的等比数列， 所以13nna =，*n∈N . （2）证明：因为1111nnnnnnnaaba aaa+++−=+++ () ()()()()1*1111111111nnnnnnaanaaaa++++−+==−∈++++N， 所以12nbbb++⋅⋅⋅+ 111111111133111111144413nkkknnaaaa=+++=−=−=−< −=+++++∑. 16.（本小题 15 分） 已知函数( )2lnf xxaxax=−+. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)当2a =时，求曲线( )yf x=在点( )()1,1f处的切线方程. (2)若函数 ( )( )g xf xax=−有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)10xy+− = (2)10, 2e 【详解】（1）当2a =时，( )2ln22f xxxx=−+，所以( )142fxxx −′=+, ( )11 421f= −+= −′，( )1ln1 220f=−+=， 所以曲线( )yf x=在点( )()1,1f处的切线方程为()1yx= −−， 即10xy+− =； （2） ( )( )()2ln0g xf xaxxaxx=−=−>， 由 ( )0g x =得2lnxax=， 2ln,==xya yx的图象有 2 个交点， 令 ( )()2ln0xh xxx=>， ( )31 2lnxh xx−′=，当0ex<<时，( )0h x′>， ( )h x 单调递增， 当ex >时，( )0h x′<， ( )h x 单调递减，所以 ( )()1e2eh xh≤=， 且1x > 时， ( )0h x >， ( )10h=， 所以01x<< 时， ( )0h x <，所以 ( )h x 的大致图象如下， 所以若函数 ( )( )g xf xax=−有两个零点， 则102ea<<， 所以实数a 的取值范围为10, 2e. 17.（本小题 15 分） 如图，已知四棱台1111ABCDA B C D−的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形，平面11AA D D ⊥ 平面ABCD，1117A AD D==，点 P 是棱1DD 的中点，点 Q 在棱 BC 上． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若3BQQC=，证明：//PQ平面11ABB A ； (2)若二面角 PQDA−−的正切值为 5，求 BQ 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）取1AA 的中点 M，连接 MP，MB，如图， 在四棱台1111ABCDA B C D−中，四边形11A ADD 是梯形，112,4A DAD==， 又点 M，P 分别是棱11,A A D D 的中点，所以 MPAD∥，且1132A DADMP+==． 在正方形 ABCD 中，4BCADBC =∥，，又3BQQC=，所以3BQ =． 从而 MPBQ∥且 MPBQ=，所以四边形 BMPQ 是平行四边形，所以 PQMB∥． 又因为 MB ⊂ 平面11ABB A ， PQ ⊂/ 平面11ABB A ，所以//PQ平面11ABB A ； （2）在平面11AA D D中，作1AOAD⊥于 O． 因为平面11AA D D ⊥ 平面 ABCD，平面11AA D D ∩平面 ABCDAD=，1AOAD⊥， 1AO ⊂ 平面11AA D D ，所以1AO ⊥ 平面 ABCD． 在正方形 ABCD 中，过 O 作 AB 的平行线交 BC 于点 N，则ONOD⊥． 以{,,}ON OD OA 为正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz−． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 因为四边形11AA D D 是等腰梯形，112,4A DAD==，所以1AO = 又1117A AD D==，所以14AO =． 易得15(4, 1,0),(0,3,0),(4,3,0),(0,2,4),0,,22BDCDP− ， 所以1(4,0,0),0,,2 ,(0, 4,0)2DCDPCB==−=−． 设(0, 4 ,0)(01)CQCBλλλ==−≤≤，所以(4...
