辽宁省大连市2024-2025学年高三上学期期末双基测数学试卷及答案.pdf

{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}数学答案 第1页（共 7 页） 2025 年大连市高三双基测试 数学参考答案 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、单项选择题： 1. C 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7. A 8. D 二、多项选择题： 9. AD 10. ABD 11. ABD 三、填空题 12. 7 13. 4√3 + 2 14. 98 第 14 题答案提示：满足|𝑥 − 𝑚| + |𝑦 − 𝑛| = 𝑑的点(𝑥, 𝑦)在以(𝑚, 𝑛)为中心，对角线长为2𝑑的正方形上，如图（1）所示. 𝑓(𝑥) = |𝑎 + 1 − sin𝑥| +12 |2𝑏 + 5 − cos2𝑥| = |𝑎 + 1 − sin𝑥| + |𝑏 + 2 + sin2𝑥|， 令𝑡 = sin𝑥, 𝑡 ∈ [−1,1]，则y = |𝑎 + 1 − 𝑡| + |𝑏 + 2 − (−𝑡2)|为(𝑎 + 1, 𝑏 + 2)到 (𝑡, −𝑡2) , 𝑡 ∈ [−1,1]的曼哈顿距离.故数形结合如图（2）所示可得最小值为98. 图（1） 图（2） {#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}数学答案 第2页（共 7 页） 四、解答题： 15．（本小题满分 13 分） 解析：（1）因为∠𝐵𝐴𝐶 = 120°，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，所以∠𝐴𝐶𝐷 = 30°，因为𝐴𝐷 = 𝐷𝐶，所以∠𝐷𝐴𝐶 = 30°，因为∠𝐵𝐴𝐶 = 120°，∠𝐵𝐴𝐷 = 90°所以𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝐵，…………………………2 分 又因为平面𝑃𝐴𝐵 ⊥平面𝐴𝐵𝐶，平面𝑃𝐴𝐵 ∩平面𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵，𝐴𝐷 ⊂平面𝑃𝐴𝐷，所以𝐴𝐷 ⊥平面𝑃𝐴𝐵，…………………………………………………………………………………………4 分 又因为𝑃𝐵 ⊂平面𝑃𝐴𝐵，所以𝑃𝐵 ⊥ 𝐴𝐷．……………………………………………………5 分 （2）在平面𝑃𝐴𝐵内，过点𝐴作𝐴𝐵的垂线交𝑃𝐵于𝐸，则𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝐸，以点𝐴为坐标原点，,,AB AD 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别为𝑥, 𝑦, 𝑧轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系𝐴 − 𝑥𝑦𝑧，不妨设𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 = 1，则𝐴𝐶 = √3，𝐵𝐴 = 𝐴𝑃 = √3，则𝐴(0,0,0), 𝐶 (− √32 ,32 , 0) , 𝐷(0,1,0), 𝑃 (− √32 , 0,32)，𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(− √32 ,12 , 0) , 𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = (− √32 , −1,32) 设平面𝑃𝐴𝐷的法向量为𝑚⃗⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧)， 则{𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑚⃗⃗ = 0,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑚⃗⃗ = 0,即{𝑦 = 0− √32 𝑥 +32 𝑧 = 0，令3x =，可取𝑚⃗⃗ = (√3,0,1)，……………………8 分 设平面𝑃𝐷𝐶的法向量为𝑛⃗ = (𝑝, 𝑞, 𝑟)， 则{𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑛⃗ = 0,𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑛⃗ = 0,即{− √32 𝑝 +12 𝑞 = 0− √32 𝑝 − 𝑞 +32 𝑟 = 0，令𝑝 = 1，可得𝑛⃗ = (1, √3, √3)，………………10 分 所以𝑐𝑜𝑠⟨𝑚⃗⃗ ,𝑛⃗ ⟩ = |2√32×√7| = √217 ，……………………………………………………………12 分 由图可知二面角𝐴 − 𝑃𝐷 − 𝐶的平面角为钝角， 因此二面角𝐴 − 𝑃𝐷 − 𝐶的余弦值为− √217 ．………………………………………………13 分 16． （本小题满分 15 分） 解析：（1）设椭圆C与其伴随双曲线Γ的离心率分别为𝑒1，𝑒2， 依题意可得𝑎2 = 4，𝑒1 = √33 𝑒2，即𝑒12 =13 𝑒22， 即4−𝑏24=13 ×4+𝑏24 ，解得𝑏2 = 2，………………………………………………...