辽宁省五校（东北育才中学、辽宁省实验中学、大连24中学、大连八中、鞍山一中）2025届高三上学期期末考试 数学 含答案.pdf

2024—2025 学年度上学期期末考试高三年级数学科答案 一、单项选择题： 1.A 2.C 3.D 4. C 5.B 6. A 7.B 8. C 二、多项选择题 9.AD 10.BC 11.BCD 三、填空题 12.； 13.答案不唯一，4，5，6 任写一个即可. 14. 四、解答题 15.解： （I）……5 分 所以…………………………………………………………6 分 （II）由=， 所以………………………7 分 设，由点在边上，且为锐角三角形，所以， 所以.……………………………………………………………9 分 在中，由， 所以，所以， 所以…………11 分 由是定义域上的减函数，所以， 所以的范围为.…………13 分（其它方法酌情给分） 16．解：（I）由椭圆离心率，所以.………………………1 分 所以椭圆方程化为. 由直线的斜率，所以直线的方程为，……………2 分 由椭圆对称性，不妨设点 联立，解得.…………………………………………4 分 所以，解得，……6 分 所以椭圆的方程为……………………7 分 （II）如图，延长交于点， 由（1）可知， 设，设的方程为， 由，得，故………9 分 设与的距离为，四边形的面积为， 由及椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称. 所以…11 分 又因为…13 分 当且仅当，即时，等号成立，…………………14 分 故四边形面积的最大值为 2.……………………………15 分 17.解：（I）甲同学所有可能的选择答案有种， 其中正确选项只有一个，设 M=“猜对本题得 6 分”，故.……………3 分 （II）乙同学所有可能的选择答案有种，即共有 10 个样本点， 设乙同学本题可能得分为，则的可能取值为 0，4，6. ，，…………………………7 分 所以乙同学可能得分的分布列为 0 4 6 所以期望…………………………………9 分 （III）由题意得丙得 0 分的概率为，丁得 0 分的概率为，…10 分 丙丁总分刚好得 18 分的情况包含： 事件 A：丙得 12 分有 6+6 一种情况，丁得 6 分有 6+0，0+6，3+3 三种情况， 则； 事件 B：丙得 9 分有 6+3，3+6 两种情况，丁得 9 分有 6+3，3+6 两种情况， 则； 事件 C：丙得 6 分有 6+0，0+6，3+3 三种情况，丁得 12 分有 6+6 一种情况， 则；…………………………………14 分 所以丙丁总分刚好得 18 分的概率.…………15 分 18.解：（I）由，，所以. 由平面，所以. 由，，，所以平面平面.…4 分 （II）取中点，连接， 在梯形中，因为，，所以，， 则在中，，由，则，………………6 分 易知两两垂直，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示： 在四棱柱中，，则， 因为平面，平面，所以， 在中，， 则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，可得，则， 取，则，所以平面的一个法向量，……………8 分 设点到平面的距离， 设直线与平面所成角为，则，即， 在四棱柱中，因为，且平面， 所以当直线与所成角为时，其余弦值取得最大值，即为.……10 分 （III）由题意作图如下：由题可知 ，，， 因为，所以，则，， ， 设平面的法向量，可得， 则，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面的法向量，可得， 则，令，则， 所以平面的一个法向量，…………………………14 分 设二面角的大小为， 则， 由二面角的正弦值为，则， 可得，化简可得，解得或，…………16 分 由，则，故存在，.………………17 分 19.解： （I）因为单调递增，不存在正数，使得恒成立， 所以数列不具有性质.………………………………………………………2 分 因为，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质.……4 分 （II）因为， 若为奇数的概率为为偶数的概率为， ①………………………………6 分 ②，……………………………………7 分 ，即.………………………………………8 分 所以当时，，故随着的增大而增大，且. 故数列具有性质.……………………………10 分 （III）令，则，，， 所以当时，在上递减，而， 故在有唯一的零点，即，即………………12 分 且当时，，即， 当时，，即 由，可知， 在上单调递增；……………………………………………………………13 分 由， 所以， 所以，……………………14 分 假设时，成立， 则，即成立， 结合可得：对于任意恒成立， 故为递增数列，为递减数列.…………………………………………16 分 对数列，存在，使，所以数列具有性质 对数列，存在，使，所以数列也具有性质……17 分