重庆八中2025届高三上学期开学考试数学试题答案.pdf

答案第 1 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 重庆八中高 2025 届高三上开学考试 数学试题参考答案 命题人：星云数学命题审题人：Fiddie Rara 涛哥 陈明 徐老师 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1．B 2．D 3．D 4．D 5．B 6．B 7．B 8．B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．BC 10．BCD 11．ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．3 13．512 14．882 四、解答题：共 77 分。 15. 解：（1）对于任意的 ∈ [3, 4]，都有() ≤ 1，等价于()max ≤ 1， () = log[( − )( − 2)] = log(2 − 3 + 22)( ∈ [3, 4]) 设 = 2 − 3 + 22 = � −32 �2−24 ( ∈ [3, 4]) 则 t 在[3, 4]上是增函数， 当0 < < 1时，()在[3, 4]上递减，则()max = (3) = log(22) ≤ 1， 解得12 ≤ < 1， 答案第 2 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当 > 1时，()在[3, 4]上递增，则()max = (4) = log(62) ≤ 1，解得0 < ≤16与 > 1矛盾，故舍去. 综上，12 ≤ < 1. （2） 12 ≤ < 1， ∴()在(52 ,+∞)上递减， ∴�() = log() = log，即�( − )( − 2) = ( − )( − 2) = ，即关于 x 方程( − )( − 2) = 在(52 ,+∞)上有两个不等的实根， 设ℎ() = ( − )( − 2) − = 2 − (3 + 1) + 22， 则⎩⎪⎨⎪⎧12 ≤ < 1∆= (3 + 1)2 − 82 > 03+12>52ℎ(52 ) > 0，即⎩⎪⎨⎪⎧12 ≤ < 12 + 6 + 1 > 0 <12 >103 ⇒ ∈ ⌀． 综上，不存在这样的 α，β 满足条件. 16. 解：（1）8() = (1 + )8 = 0 + 1 + 22 + ⋯ + 88， 7 = C877 = 1024 ⇒ = 2， 不妨设中( = 0,1,2,3,⋯ ,8)，则 � ≥ −1 ≥ +1 ⇒ �C82 ≥ C8−12−1C82 ≥ C8+12+1 ⇒ � ≤ 6 ≥ 5，则 = 5或 6， 中的最大值为5 = 6 = C8525 = C8626 = 1792. （2）若 = 2，(1 + 2) = ∑=0，两边求导得2(1 + 2)−1 = ∑−1=0， 令 = 1得，∑ = 2 ⋅ 3−1=0. （3）若 = −1，() = (1 − )， 答案第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 � C −()=0 = C0 0 0(1 − ) + C1 1 1(1 − )−1 + C2 2 2(1 − )−2 + ⋯ + C (1 − )0， 因为C =!!⋅(−)! ⋅ =(−1)!(−1)!⋅(−)! =(−1)!(−1)!⋅[(−1)−(−1)]! = C−1−1， 故 � C −()=0 = 0 + C−101(1 − )−1 + C−112(1 − )−2 + ⋯ + C−1−1(1 − )0 = [C−100(1 − )−1 + C−111(1 − )−2 + ⋯ + C−1−1−1(1 − )0] = [ + (1 − )]−1 = ． 17. 解：（1）设(, )，(,)，: = + 4，联立方程� = + 4,2 = 2, 得2 −2 − 8 = 0， 则 + = 2， = −8. 因为以为直径的圆过点，所以 ⊥ ，则 + = 0，即22 ⋅22 + = 0， 解得 = −42，所以−42 = −8，解得 = 2，所以的方程为2 = 4. （2）设(1, 1)，(2,2)，(3,3).不妨设，，按逆时针顺序排列. ①当△ 有一边斜率不存在时，另一顶点为(0,0)，不妨设(0,0)， 则: = √33 ，: = − √33 . 与抛物线的方程联立得�12,4√3�，�12, −4√3�，中心(8,0). ②当△ 三边的斜率都存在时， =1−21−2 =41+2， =41+3. 答案第 4 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又∠ = 60°，所以41+2−41+31+41+2⋅41+3= tan60° = √3， 化简可得4(3 − 2) = √3[(1 + 2)(1 + 3) + 16]， 同理可得4(2 − 1) = √3[(3 + 1)(3 + 2) + 16]， 4(1 − 3) =...